آمار توصیفی

موضوع آمار توصیفی (Descriptive statistics) تنظیم و طبقه‌بندی داده‌ها، نمایش ترسیمی، و محاسبهٔ مقادیری از قبیل نما، میانگین، میانه و ... می‌باشد که حاکی از مشخصات

یکایک اعضای جامعهٔ مورد بحث است. در آمار توصیفی اطلاعات حاصل از یک گروه، همان گروه را توصیف می‌کند و اطلاعات به دست آمده به دسته‌جات مشابه تعمیم داده

نمی‌شود. به‌طور کلی از سه روش در آمار توصیفی برای خلاصه‌سازی داده‌ها استفاده می‌شود:

استفاده از جداول
ااستفاده از نمودار
محاسبه مقادیری خاص که نشان‌دهنده خصوصیات مهمی از داده‌ها باشند.

از نظر تاریخی می‌توان گفت از لحظه ای که شمارش اختراع شد علم آمار نیزگسترش پیدا کرد.[۱] آمار توصیفی فقط مختص نمونه است و نمیتوان از آن برای کل جامعه آماری استفاده کرد

روش های امار توصیفی

تشکیل جدول توزیع فراوانی

توزیع فراوانی عبارت است از سازمان دادن داده‌ها یا مشاهدات به صورت طبقات همراه با فراوانی هر طبقه. برای تشکیل یک جدول توزیع فراوانی باید دامنه تغییرات ، تعداد طبقات و حجم طبقات توسط فرمولهای مربوطه محاسبه شده و سپس اقدام به نوشتن جدول توزیع در دو ستون X (ستون طبقات) و F (فراوانی طبقات) شود. پس از این مرحله در صورت تمایل یا لزوم پژوهشگر می‌تواند شاخص‌های دیگری نظیر فراوانی تراکمی‌ ، فراوانی تراکمی‌ درصدی را محاسبه نماید. تشکیل جدول توزیع فراوانی یک روش اقتصادی و در عین حال آسان برای نمایش انبوهی از داده‌های نامنظم است. اما در طبقه بندی کردن ، برخی از اطلاعات به علت خطای گروه بندی از دست می‌روند که در محاسبه شاخص های آماری نیز منعکس می‌شود. ولی مقدار آن ناچیز بوده و اشکال عمده‌ای ایفا نمی‌کند.

ترسیم نمودار

یکی از نقاط ضعف نمایش داده‌ها به صورت جدول فراوانی عدم درک سریع اطلاعات جدول است. نمودارها ابزار مناسبی برای نمایش تصویری اطلاعات هستند. انواع مختلفی از نمودار وجود دارد که از جمله می‌توان به نمودارهیستوگرام ، نمودار ستونی ، نمودار چند ضلعی تراکمی ‌،نمودار دایره‌ای ، نمودار سریهای زمانی و …اشاره کرد.

محاسبه شاخصهای مرکزی

در محاسبات آماری لازم است که ویژگیها و موقعیت کلی داده‌ها تعیین شود. برای این منظور شاخص‌های مرکزیمحاسبه می‌شوند. شاخص‌های مرکزی در سه نوع نما (Mode) ، میانه (Median) و میانگین (Meann) هستند که هر یک کاربرد خاص خود را دارا می‌باشند. در تحقیقاتی که مقیاس اندازه گیری داده‌ها حداقل فاصله‌ای استمیانگین بهترین شاخص است. ولی در تحقیقاتی کهمقیاس اندازه گیری داده‌ها رتبه‌ای یا اسمی‌ است، میانه یا نما مورد استفاده قرار می‌گیرند.

محاسبه همبستگی

همبستگي يعني تغيير در y چقدر بر روي تغيير بر x تاثير مي گذارد. به عبارت ديگر تغيير در يک متغير چقدر با تغيير در متغير ديگر هماهنگ است. مثلا تغيير در قد چقدر با تغيير در وزن هماهنگي دارد. در اين مثال بديهي است که همبستگي مثبت است. زيرا معمولا افراد قد بلندتر داراي وزن بيشتري مي باشند.

همبستگي را با ضريبي به نام ضريب همبستگي پيرسون اندازه گيري مي کنند که عددي بين صفر و يک است. هر چه مقدار همبستگي به عدد يک نزديک تر باشد، همبستگي بين دو متغير بيشتر است و هر چه به صفر نزديک تر باشد، همبستگي بالاتر خواهد بود. همبستگي برابر يک يعني رابطه خطي و صد درصدي. همبستگي مي تواند مثبت و يا منفي باشد.

تحقیقاتی وجود دارد که پژوهشگر می‌خواهد رابطه بین دو متغیر را تعیین کند و به همین منظور از روشهای همبستگی (Correlation) استفاده می‌کند. در محاسبه همبستگی ، نوع مقیاس اندازه گیری دخالت دارد و بطور کلی به دو دسته پارامتری و ناپارامتری تقسیم می‌شوند.

محاسبه همبستگی برای تحقیقات پارامتری : چنانچه دو متغیر در مقیاسهای فاصله یا نسبی اندازه گیری شده باشند، می‌توان برای تعیین رابطه بین آنها از ضریب همبستگی گشتاوری پیرسون استفاده کرد. ولی اگر در تمام مفروضات ضریب همبستگی پیرسون صادق نباشد، نمی‌توان از آنها استفاده کرد و به جای آن می‌توان از روشهای دیگری مانند ضریب همبستگی دو رشته‌ای ، دورشته‌ای و یا ضریب تتراکوریک استفاده کرد.

محاسبه همبستگی برای تحقیقات ناپارامتری : در تحقیقاتی که در سطح مقیاس‌های اسمی ‌و رتبه‌ای انجام می‌گیرد، باید از روش‌های دیگری برای محاسبه همبستگی بین دو متغیر استفاده کرد. برخی از این روشها عبارتند از : ضریب همبستگی فی (φ) ضریب کریمر (C) ، ضریب کپا (K) و ضریب لامبدا ، در تحقیقات اسمی ‌و ضریب همبستگی اسپرمن ، ضریب کندال و آماده گاما (G) برای تحقیقات ترتیبی.

رگراسیون و پیش بینی

رگراسیون (Regression) روشی برای مطالعه سهم یک یا چند متغیر مستقل در پیش بینی متغیر وابسته است. از تحلیل رگراسیون هم در تحقیقات توصیفی (غیر آزمایشی) و هم در تحقیقات آزمایشی می‌توان استفاده کرد. با توجه به نوع تحقیق و متغیرهای آن روش متنوعی برای تحلیل رگراسیون وجود دارد که برخی از آنها عبارتند از :رگراسیون خطی (با سه راهبرد همزمان ، گام به گام ، سلسله مراتبی) ، رگراسیون انحنایی ، رگراسیون لوجیستیک و تحلیل کواریانس.

رگرسيون يعني بازگشت. يعني پيش بيني و بيان تغييرات يک متغير بر اساس اطلاعات متغير ديگر.

مثال: رابطه بين قد و وزن انسانها را در نظر بگيريد. همه مي دانيم که اين رابطه يک رابطه مستقيم رياضي و صد درصدي نيست که لزوما هر که قد بلندتري داشته باشد وزن بيشتري داشته باشد، اما مي توان گفت که با احتمال قابل قبولي افراد با قد بلندتر، وزن بيشتري نيز دارند. در اينجا پيش بيني وزن از روي قد و بيان ارتباط بين اين متغير با روش آماري رگرسيون خطي صورت مي پذيرد که اين رابطه را به صورت کمي به ما نشان مي دهد.

رگرسيون را با معادله رگرسيون بيان مي کنند. در مثال فوق معادله رگرسيون خطي مي تواند به صورت زير باشد:

متغير وزن = متغير قد * b + a

ترسيم اين خط پس از محاسبه ضرايب a و b ما را به خط رگرسيون مي رساند.

تحلیل داده‌های ماتریس کواریانس

از جمله تحلیل‌های همبستگی ، تحلیل ماتریس کواریانس یا ماتریس همبستگی است. دو نوع از معروفترین این تحلیل‌ها عبارتند از : مدل تحلیل عاملی برای پی بردن به متغیرهای زیر بنایی یک پدیده در دو دسته اکتشافی و تاییدی و مدل معادلات ساختاری برای بررسی روابط علی بین متغیرها

برچسب‌ها: آمار توصیفی

تاريخ : دوشنبه سی و یکم تیر ۱۳۹۸ | 22:16 | نویسنده : math.teacher |

تابع هموگرافیک

تعریف تابع کسری یا همگرافیک

تابع کسری f که در آن صورت و مخرج کسر چندجمله ای از درجه یک باشند را تابع هموگرافیک می گوئیم.

خواص تابع هموگرافیک

الف) منحنی های این تابع یک مجانب قائم به معادله و یک مجانب افقی به معادله دارد در حقیقت مجانب قائم آن ریشه مخرج و مجانب افقط آن حد تابع است وقتی x→∞.
ب) مشتق این تابع به صورت زیر محاسبه می شود:

ج) اگر محورهای مختصات را به موازات خود تا نقطه O' یعنی محل تلاقی مجانب ها انتقال دهیم، معادله جدید منحنی به صورت XY=K خواهد شد که در آن
د)دامنه این توابع مجموعه اعداد حقیقی منهای ریشه های مخرج می باشد.
هـ) برد این توابع مجموعه اعداد حقیقی است منهای یعنی .

برر سی یک به یک بودن توابع کسری: این توابع به ازای کلیه اعداد حقیقی به جز ریشه مخرج یعنی به ازای تمام اعداد از دامنه شان یک به یک هستند. زیرا:
فرمول****

بررسی فرد یا زوج بودن توابع کسری: این تابع در حالت کلی نه فرد است نه زوح. ولی اگر معادله تابع به صورت با شد آنگاه f تابعی فرد است.
بررسی معکوس پذیری تابع کسری: چون این تابع در یک به یک است بنابراین معکوس پذیر نیز می باشد و معادله معکوس آن چنین بدست می آید:
فرمول****

سوال: منحنی تابع معکوس تابع کسری در چه شرایطی بر منحنی تابع معکوس منطبق است؟
جواب: برای پیش آمدن چنین اتفاقی باید عدد مجانب قائم با عدد مجانب افقی برابر باشد. یعنی:

بررسی پیوستگی تابع کسری: اگر یا ، آنگاه تابع f پیوسته است.
بررسی مشتق پریری تابع کسزی: اگر و یا باشد آنگاه تابع f مشتق پذیر است.
مرکز و محور تقارن منحنی توابع کسری: محل تلافی مجانب ها نرکز تقارن منحنی تابع f است یعنی مرکز تقارن منحنی است و نیمسازهای مجانب ها محورهای تقارن است. برای نوشتن معادلات محورهای تقارن کافی است معادلات خطوطی را بنویسیم که از نقطه O' محل تلاقی مجانب ها می گذرد و ضریب زاویه آنها (1�) است.
بررسی صعودی ، صعودی اکید ، نزولی و یا نزولی اکید بودن توابع کسری:
الف) اگر ، انگاه تابع اکیدا صعودی است.
ب) اگر آنگاه تابع اکیدا نزولی است.
ج) اگر آنگاه مشتق صفر است و تابع ثابت می باشد یا می گویئم تابع به خط ثابت تبدیل می شود.
نکته: در مورد تناوب این گونه توابع باید گفت توابع کسری متناوب نمی باشند.
نکته: نمودار هر تابع کسری خطی یک هذلولی است که در امتداد هر دو محور انتقال یافته و در امتداد محور y ها کشش پیدا کرده است. برای رسم نمودار یک تابع کسری لازم نیست کسری را که این توابع را تعریف می کند تغییر دهیم از آنجا که می دانیم نمودار این توابع هذلولوی است. فقط کافی است که خطوط مجانب منحنی به علاوه چند نقطه اضافی از نمودار تابع را بیابیم به این ترتیب خواهیم دید که رسم این توابع کار مشکلی نیست.

برچسب‌ها: تابع , تابع کسری , تایع هموگرافیک

تاريخ : دوشنبه سی و یکم تیر ۱۳۹۸ | 21:3 | نویسنده : math.teacher |

جبر مجموعه ها

در کلاس اول وقتی با اعداد آشنا شدید، بلافاصله جمع آنها بیان شد. اولین تجربه هر شخصی از دنیای ریاضی همین جمع اعداد طبیعی است. وقتی دو عدد طبیعی را با هم جمع کنید، باز هم حاصل یک عدد طبیعی است.

بدون نیاز به دانستن اعداد صحیح، گویا یا حقیقی، می‌توان به جمع اعداد طبیعی را فرا گرفت. به همین دلیل اولین مبحث ریاضیات جمع است و عملگر دودویی جمع اهمیت زیادی در ریاضیات دارد.

در نظریه مجموعه‌ها هم عملگرهایی وجود دارند. وقتی این عملگرها را بر روی مجموعه‌ای اعمال می‌کنیم، مجموعه جدیدی تولید می‌شود. این عملگرها جبر مجموعه‌ها را به وجود می‌آورند. در این مقاله قصد داریم در مورد جبر مجموعه ها صحبت کنیم.

اجتماع دو مجموعه

اجتماع دو مجموعه A و B برابر است با مجموعه‌ای که اعضایش یا در A هستند یا در B یا در هر دو.

اجتماع دو مجموعه به نام ریاضی را به صورت زیر نشان می‌دهند:

$A\cup B = \left \{ \left. x| x\in A \vee x\in B \right \} \right.$

در نمایش ریاضی بالا دو علامت جدید می‌بینید:

$\cup$ : این علامت نماد اجتماع دو مجموعه است.

$\vee$ : این علامت نشان‌دهنده‌ی «یا» است.

در واقع نماد ریاضی بالا بیان می‌کند که A اجتماع با B برابر است با xهایی که یا در A هستند یا در B یا در هر دو

%d8%a7%d8%ac%d8%aa%d9%85%d8%a7%d8%b9-%d8%af%d9%88-%d9%85%d8%ac%d9%85%d9%88%d8%b9%d9%87-%d9%86%d9%85%d9%88%d8%af%d8%a7%d8%b1-%d9%88%d9%86

نمودار اجتماع دو مجموعه. بخش نارنجی رنگ نشان دهنده اجتماع است.

مثال: اگر $A = \left \{ \left. 1, 2, 3 \right \} \right.$ و $B = \left \{ \left. 3, 4,5 \right \} \right.$ آنگاه $A \cup B$ چیست؟

$A \cup B = \left \{ \left. 1, 2, 3, 4, 5 \right \} \right.$

همانطور که در مثال بالا می‌بینید. عدد ۳ در هر دو مجموعه وجود دارد ولی در اجتماع دو مجموعه یکبار آمده است. دلیل آن هم واضح است. زیرا در مجموعه تکرار تأثیری ندارد.

مثال: اگر $A = \left \{ \left. 2, 4, 6, 8, ... \right \} \right.$ و $B = \left \{ \left. 1, 3, 5, 7, .. \right \} \right.$ آنگاه $A \cup B$ چیست؟

$A \cup B = N$

در این مثال مجموعه اعداد فرد و زوج، مجموعه اعداد طبیعی را تشکیل می‌دهند.

مثال: اگر $A = \left \{ \left. x | x\in R, -3 < x < 4 \right \} \right.$ و $B = \left \{ \left. x | x\in R, 1 < x < 8 \right \} \right.$ آنگاه $A \cup B$ چیست؟

$A \cup B = \left \{ \left. x | x\in R, -3 < x < 8 \right \} \right.$

مثال: اگر $A = \left \{ \left. x^{2} | x\in N \right \} \right.$ و $B = \left \{ \left. x^{3} | x\in N \right \} \right.$ آنگاه $A \cup B$ چیست؟

$A \cup B = \left \{ \left. 1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 27, .. \right \} \right.$

مثال: روابط اجتماع بین مجموعه‌های مهم:

$N \cup \left \{ \left. 0 \right \} \right. = W$

$W \cup \left \{ \left. -x | x \in N \right \} \right. = Z$

نکات و خواص اجتماع دو مجموعه

نکته ۱: اجتماع هر مجموعه با مجموعه تهی برابر با خودش است.

$A \cup \O = A$

نکته ۲: اجتماع هر مجموعه با مجموعه مرجع برابر با مجموعه مرجع است

$A \cup U = U$

نکته ۳: اجتماع هر مجموعه با خودش برابر با خودش است.

$A \cup A = A$

نکته ۴: اجتماع خاصیت تعویض پذیری دارد.

$A \cup B = B \cup A$

نکته ۵: اجتماع خاصیت شرکت‌پذیری یا انجمنی دارد.

$\left ( A \cup B \right )\cup C = A \cup \left ( B \cup C \right )$

نکته ۶: اگر $A\subseteq B$ آنگاه :

$A\cup B = B$

نکته ۷: اگر $A\subseteq C$ و $B\subseteq C$ آنگاه:

$A\cup B\subseteq C$

نکته ۸: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داریم:

$A \subseteq A\cup B$

سؤال: خاصیت شرکت‌پذیری برای اجتماع مجموعه‌ها را اثبات کنید.

اشتراک دو مجموعه

اشتراک دو مجموعه A و B برابر است با مجموعه‌ای که اعضایش هم در A هستند و هم در B.

اشتراک دو مجموعه به نام ریاضی را به صورت زیر نشان می‌دهند:

$A\cap B = \left \{ \left. x| x\in A \wedge x\in B \right \} \right.$

در نمایش ریاضی بالا دو علامت جدید می‌بینید:

$\cap$ : این علامت نماد اشتراک دو مجموعه است.

$\wedge$ : این علامت نشان‌دهنده‌ی «یا» است.

در واقع نماد ریاضی بالا بیان می‌کند که A اشتراک با B برابر است با xهایی که هم در A هستند و هم در B.

%d9%86%d9%85%d9%88%d8%af%d8%a7%d8%b1-%d9%88%d9%86-%d8%a7%d8%b4%d8%aa%d8%b1%d8%a7%da%a9-%d8%af%d9%88-%d9%85%d8%ac%d9%85%d9%88%d8%b9%d9%87

نمودار ون اشتراک دو مجموعه. بخش خاکستری رنگ نشان دهنده اشتراک است.

مثال: اگر $A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}$ و $B = \left \{ 3, 4, 5 \right \}$ آنگاه $A\cap B$ چیست؟

$A \cap B = \left \{ 3 \right \}$

تنها عضو مشترک بین این دو مجموعه، ۳ است. بنابراین اشتراک آنها یک مجموعه تک عضوی است.

مثال: اگر $A = \left \{ x | x\in R, -\sqrt{5} \leqslant x < \frac{7}{3} \right \}$ و $B = \left \{ x | x\in R, -2\sqrt{3} < x \leqslant 0 \right \}$ آنگاه $A\cap B$ چیست؟

$A \cap B = \left \{ x | x\in R, -\sqrt{5} \leqslant x \leq 0 \right \}$

مثال: اگر $A = \left \{ \left. 1, 3, 5, ... \right \} \right.$ و $B = \left \{ \left. 2, 4, 6, ... \right \} \right.$ آنگاه $A\cap B$ چیست؟

$A \cap B = \O$

مجموعه اعداد زوج و فرد اشتراکی ندارند.

مثال: اگر $A = \left \{ 2x | x \in N \right \}$ و $B = \left \{ 3x | x\in N \right \}$ آنگاه $A\cap B$ چیست؟

$A \cap B = B = \left \{ 6x | x\in N \right \}$

اشتراک مجموعه مضارب ۲ و مضارب ۳ برابر است با مجموعه مضارب ۶٫

مثال: اگر $A = \left \{ x | \frac{12}{x} \in N \right \}$ و $B = \left \{ x | \frac{20}{x} \in N \right \}$ آنگاه $A\cap B$ چیست؟

$A \cap B = B = \left \{ 1, 2, 4\right \}$

مقسوم‌علیه‌های مشترک دو عدد ۱۲ و ۲۰ برابر است با ۱، ۲ و ۴

نکات و خواص اشتراک مجموعه ها

نکته ۱: اشتراک هر مجموعه با مجموعه تهی برابر است با تهی

$A \cap \O = \O$

نکته ۲: اشتراک هر مجموعه با مجموعه مرجع برابر با خود مجموعه

$A \cap U = A$

نکته ۳: اشتراک هر مجموعه با خودش برابر با خودش است.

$A \cap A = A$

نکته ۴: اشتراک خاصیت تعویض پذیری دارد.

$A \cap B = B \cap A$

نکته ۵: اشتراک خاصیت شرکت‌پذیری یا انجمنی دارد.

$\left ( A \cap B \right )\cap C = A \cap \left ( B \cap C \right )$

نکته ۶: اگر $A\subseteq B$ آنگاه :

$A\cap B = A$

نکته ۷: اگر $A\subseteq C$ و $B\subseteq C$ آنگاه:

$A\cap B\subseteq C$

نکته ۸: اجتماع و اشتراک نسبت به هم خاصیت توزیع‌پذیری دارند:

$A\cup \left ( B \cap C \right ) = \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A\cup C \right )$

$A\cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A\cap C \right )$

نکته ۹: اشتراک دو مجموعه همواره زیر مجموعه‌ی اجتماع آنهاست.

$A\cap B \subseteq A\cup B$

نکته ۱۰: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داریم:

$A\cup (A\cap B) = A$

$A\cap (A\cup B) = A$

سؤال: توزیع‌پذیری اشتراک روی اجتماع را اثبات کنید.

تفاضل دو مجموعه

تفاضل دو مجموعه A و B برابر است با مجموعه‌ای که اعضای آن در A هست ولی در B نیست.

تعریف تفاضل به زبان ریاضی به صورت زیر است:

$A - B = \left \{ \left. x | x \in A, x \notin B \right \} \right.$

مثال: اگر $A = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \right \}$ و $B = \left \{ 5, 6, 7, 8, 9, 10\right \}$ آنگاه چیست؟

$A - B = \left \{ \left. 1, 2, 3, 4 \right \} \right.$

مثال: رابطه تفاضل بین مجموعه‌های معروف:

$W - \left \{ \left. 0 \right \} \right. = N$

$Z - N = \left \{ \left. -x | x \in W \right \} \right.$

خواص تفاضل مجموعه ها

نکته ۱: تفاضل بین هر مجموعه با مجموعه تهی برابر است با خود مجموعه

$A - \O = A$

نکته ۲: تفاضل بین هر مجموعه با خودش برابر با مجموعه تهی.

$A - A = \O$

نکته ۳: تفاضل خاصیت تعویض پذیری ندارد.

$A - B \neq B - A$

نکته ۴: تفاضل مجموعه‌ها خاصیت شرکت‌پذیری یا انجمنی ندارد.

$\left ( A - B \right ) - C \neq A - \left ( B - C \right )$

نکته ۵: اگر $A\subseteq B$ آنگاه :

$A - B = \O$

نکته ۶: اشتراک روی تفاضل خاصیت توزیع پذیری دارد.

$A \cap \left ( B - C \right ) = \left ( A\cap B \right )-\left ( A\cap C \right )$

نکته ۶: بین تفاضل و اجتماع رابطه‌ی زیر برقرار است:

$A - \left ( B \cap C \right ) = \left ( A - B \right ) \cup \left ( A - C \right )$

$A - \left ( B \cup C \right ) = \left ( A - B \right ) \cap \left ( A - C \right )$

نکته ۷: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داریم:

$A - B \subseteq A$

نکته ۸: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داریم:

$A - B = A - \left ( A \cap B \right )$

سؤال: نکته ۶ را اثبات کنید.

تفاضل متقارن

تفاضل دو مجموعه A و B برابر است با مجموعه‌ای که اعضای آن یا در A هستند یا در B و نه در هر دو.

به زبان ریاضی، تفاضل متقارن دو مجموعه را به صورت زیر تعریف می‌کنند:

$A \triangle B = \left ( A - B \right ) \cup \left ( B - A \right )$

در شکل بالا قسمت خاکستری رنگ بیانگر تفاضل متقارن دو مجموعه A و B است.

مثال : اگر $A = \left \{ \left. 1 , 2, 3, 4, 5 \right \} \right.$ و $B = \left \{ \left. 1, 2, 6, 7, 8, 9 \right \} \right.$ آنگاه $A \triangle B$ کدام است؟

$A \triangle B = \left \{ \left. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right \} \right.$

نکات و خواص تفاضل متقارن

نکته ۱: مهم‌ترین نکته در مورد تفاضل متقارن، رابطه‌ی زیر است:

$A\triangle B = \left ( A\cup B \right ) - \left ( A\cap B \right )$

نکته ۲: تفاضل متقارن هر مجموعه با مجموعه تهی برابر است با خود مجموعه

$A \triangle \O = A$

نکته ۳: تفاضل متقارن هر مجموعه با خودش برابر است با تهی

$A \triangle A= \O$

نکته ۴: تفاضل متقارن خاصیت تعویض پذیری دارد.

$A \triangle B = B \triangle A$

نکته ۵: تفاضل متقارن مجموعه‌ها خاصیت شرکت‌پذیری یا انجمنی دارد.

$\left ( A \triangle B \right ) \triangle C = A \triangle \left ( B \triangle C \right )$

نکته ۶: اشتراک روی تفاضل متقارن خاصیت توزیع‌پذیری دارد.

$A \cap \left ( B\triangle C \right ) = \left ( A\cap B \right )\triangle \left ( A \cap C \right )$

نکته ۷: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داریم:

$\left ( A\triangle B \right )\triangle \left ( B\triangle C \right ) = A\triangle C$

نکته ۸: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داریم:

$A\cup B = \left ( A\triangle B \right )\triangle \left ( A\cap B \right )$

برچسب‌ها: مجموعه ها , جبر مجموعه ها

تاريخ : دوشنبه هفدهم تیر ۱۳۹۸ | 15:47 | نویسنده : math.teacher |

مثلثات

مثلثات یکی از شاخه‌های ریاضیات است که روابط میان طول اضلاع و زاویه‌های مثلث را مطالعه می‌کند. نخستین کاربرد مثلثات در مطالعات اخترشناسی بوده‌است. اکنون مثلثات کاربردهای زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارد.

بعضی از روش‌های بنیادی تحلیل، مانند تبدیل فوریه و معادلات موج، از توابع مثلثاتی برای توصیف رفتار تناوبی موجود در بسیاری از فرایندهای فیزیکی استفاده می‌کنند. هم‌چنین مثلثات پایه علم نقشه‌برداری است.

ساده‌ترین کاربرد مثلثات در مثلث قائم‌الزاویه است. هر شکل هندسی دیگری را نیز می‌توان به مجموعه‌ای از مثلث‌های قائم‌الزاویه تبدیل کرد. شکل خاصی از مثلثات، مثلثات کروی است که برای مطالعه مثلثات روی سطوح کروی و منحنی به کار می‌رود.

تابع‌های اصلی مثلثات

اجزای مثلث قائم الزاویه

تابع‌های مثلثاتی

مثلثات مطالعه اندازه گیری زاویه است. اما این سخن به معنی اندازه گیری مقدماتی زاویه در هندسه نیست که در آن مقدار زاویه مورد نظر هر یک نقاله خوانده می شود بلکه محاسبه با توابع خاصی است که بستگی به زوایا دارند و به علت کابردشان در مثلثات، توابع مثلثاتی نامیده می شوند.

img/daneshnameh_up/f/ff/Trigonometry_triangle.jpg

تعریف روی مثلث قائم الزاویه

برای تعریف توابع مثلثاتی از یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم به عنوان مثال می خواهیم این توابع را برای زاویه A در شکل روبرو تعریف کنیم
ما برای استفاده از این مثلث نامگذاری زیر را انجام می دهیم.
وتر ضلعی است که روبروی زاویه قائم قرار دار که بلندترین ضلع مثلث نیز می باشد و آن را با h نشان داده شده است.
ضلع مقابل زاویه A که آن را با a نشان می دهیم.
ضلع مجاور زاویه قائمه که درشکل با b نشان داده شده است.
حال توابع مثلثاتی را برای زاویه A روی مثلث ABC تعریف می کنیم.

sin: نسبت ضلع مقابل به وتر را سینوس می گویند یعنی:

cos: نسبت ضلع مجاور به وتر را گویند یعنی داریم:

tangent: نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور را گویند.

cosecant: نسبت وتر به ضلع مقابل زاویه را گویند.

secant: نسبت وتر به ضلع مجاور است

cotangent: نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را گویند.


	$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}$

دایره واحد مثلثاتی

در یک صفحه دستگاه مختصات دکارتی، زاویه می تواند هر چهار ربع را طی کند، و مقدار آن می تواند به حسب درجه، گراد رادیان اندازه گیری شود.
ضلع متروک این زاویه، دایره با شعاع و مرکز در مبدا، دایره موسوم به دایره واحد یا یک را در نقطه قطع می کند.
زاویه در تقاطع محور ها با دایره، مقدار صفر را اختیار می کند این زاویه، طی یک دوران کامل ضلع متحرکش حول مبدا از صفحه شروع و پس از رسیدن به مکان اولیه، دارای زاویه 360 درجه می باشد.

دایره مثلثاتی، به دایره‌ای به شعاع واحد گفته می‌شود. با استفاده از این دایره‌ی ساده می‌توان نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس و تانژانت) را به سادگی بدست آورد. هم‌چنین با استفاده از مفهوم دایره‌ی مثلثاتی می‌توان طول‌ها و زوایا را در اشکال هندسی بدست آورد.

محاسبه سینوس، کسینوس و تانژانت

در ابتدا مطابق با شکل زیر دایره‌ای به قطر واحد را در نظر بگیرید.

unit-circle

با توجه به این که شعاع دایره برابر با 1 است، می‌توان نسبت‌های مثلثاتی را به صورت مستقیم بدست آورد. فرض کنید می‌خواهیم نسبت‌های مثلثاتی را در زاویه‌ای خاص بدست آوریم. در این صورت نقطه‌ی روی دایره را در زاویه مذکور قرار داده و از آن به مرکزِ دایره خطی رسم می‌کنیم. بدیهی است که طول این خط برابر با 1 است. در نتیجه ارتفاع نقطه تا محور افقی برابر با سینوس و طول افقی نقطه تا مرکزِ دایره، اندازه کسینوس زاویه‌ی مذکور را نشان می‌دهد. اگر در زاویه مذکور خطی به دایره مماس شود، طول آن نشان دهنده اندازه تانژانت زاویه است.

در شکل زیر دایره مثلثاتی، اندازه سینوس، کسینوس وتانژانت زاویه θθ نشان داده شده‌اند.

دایره مثلثاتی

در شکل فوق طولِ خط قرمز رنگ، نشان دهنده سینوس، طول خط زرد رنگ، نشان دهنده کسینوس و خط آبی رنگ،‌ برابر با اندازه تانژانت است. برای نمونه احتمالا می‌دانید که سینوس زاویه‌ی صفر درجه برابر با صفر است (sin 0=0). حال می‌خواهیم با استفاده از دایره‌ی مثلثاتی، همین عدد را بدست آوریم. زاویه صفر درجه به این معنی است که نقطه دقیقا روی محور افقی قرار داشته باشد.

دایره مثلثاتی

همان‌گونه که در شکل فوق می‌بینید فاصله عمودی نقطه تا محور افقی (یا همان ارتفاع نقطه) برابر با صفر است. بنابراین sin 0=0 نتیجه می‌شود. از طرفی فاصله نقطه تا محور عمودی برابر با شعاع دایره است. بنابراین از شکل فوق نتیجه می‌شود:

sin(0)=0sin(0)=0
cos(0)=1cos(0)=1

مطابق با شکل زیر فرض کنید نقطه‌‌ای در زاویه ۶۰ درجه نسبت به محور افق قرار گرفته است. با توجه به طول‌های بدست آمده، اندازه سینوس و کسینوس زاویه ۶۰ درجه چند است؟

دایره مثلثاتی

با توجه به تصویر فوق اندازه طول زرد رنگ برابر با 1212و اندازه طول قرمز رنگ برابر با ۰.۸۶۶۶ است (اگر اندازه‌گیری شود این عدد بدست خواهد آمد). بنابراین می‌توان گفت:

sin(60)=0.866sin(60)=0.866
cos(60)=12cos(60)=12

توجه داشته باشید که علامت مقادیر مثلثاتی با استفاده از قوانین کارتزینی قابل تعیین است. برای نمونه اگر نقطه‌‌ای در ربع سوم (پایین سمتِ چپ دایره) دایره قرار گیرد،‌ هر دو مقدار سینوس و کسینوس آن منفی خواهند بود (در ادامه تقسیم‌بندی ربع‌های دایره نشان داده شده).

فیثاغورس

همان‌گونه که قبلا نیز بیان شده، قانون فیثاغورس می‌گوید در یک مثلث قائم الزاویه، حاصل جمع مربع اضلاع برابر با مربع وتر خواهد بود. بنابراین در دایره مثلثاتی زیر نیز رابطه فیثاغورس به‌صورت ارائه شده، برقرار است.

unit-circle

اگر در رابطه فوق، مقادیر متناظرشان را قرار دهیم، خواهیم داشت:

زوایای مهم

در محاسبات مربوط به مثلثات، زوایای پرکاربردی وجود دارند که در مسائل بسیار تکرار می‌شوند. در جدول زیر این زوایا به همراه مقادیر مثلثاتی آن‌ها ارائه شده است.

unit-circle

به‌منظور به خاطر سپردن مقادیر بالا به ترتیب از 1 تا 3 شمرده و آن‌ها را زیر رادیکال قرار داده و به 2 تقسیم کنید.

برای مقدار کسینوس به صورت عکس و از 3 تا 1 را بشمرید.

unit-circle

بنابراین تنها با دانستن سه عددِ 12,√22,√3212,22,32 مقدار مثلثاتی زوایا نیز معلوم می‌شوند. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف روی دایره نشان داده شده است. البته در این مطلب روشی بسیار آسان جهت به‌خاطر سپردن مقادیر مثلثاتی ارائه شده که در صورت علاقه‌مندی می‌توانید به آن مراجعه کنید.

unit-circle

تانژانت

با توجه به مفاهیم پایه‌ای مثلثات، مقدار تانژانت برابر با حاصل تقسیم سینوس به کسینوس یک زاویه است. برای نمونه با استفاده از جدول فوق مقادیر سینوس و کسینوس در زاویه‌ی 3۰ درجه معلوم هستند. بنابراین مقدار تانژانتِ 3۰ درجه برابر است با:

تمامی دایره

همان‌طور که می‌دانید علامت مقادیر سینوس و کسینوس بعد از ۹۰ درجه متفاوت می‌شوند. در حقیقت در هرکدام از ربع‌های دایره علامت سینوس و کسینوس تغییر می‌کنند. در شکل زیر علامت سینوس در سمت چپ و علامت کسینوس در سمت راست نشان داده شده است.

unit-circle

همان‌طور که می‌بینید در نیمه راست دایره مقادیر کسینوس مثبت هستند. هم‌چنین در نیمه‌ بالایی دایره مقادیر سینوس مثبت‌اند. عکس همین علامت‌ها نیز در نیمه دیگر رخ می‌دهد. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف، روی شکل نشان داده شده است. پیشنهاد می‌کنیم به نحوه تکرار شدن اعداد و تغییر علامت آن‌ها در شکل 1 دقت کنید.

دایره مثلثاتی

شکل 1

مثال

مقدار sin7π6sin⁡7π6 را بیابید.

می‌توان زاویه 7π67π6 (یا همان 21۰ درجه) را به‌صورت π+π6π+π6 تصور کرد. بنابراین اگر از π6π6 به اندازه‌ی π عبور کنیم به زاویه‌ی زیر خواهیم رسید.

unit-circle

در حقیقت در ربع سوم قرار گرفته‌ایم. بنابراین حاصل سینوس بایستی منفی باشد. همان‌طور که در شکل 1 نیز مشاهده می‌شود،‌ مقدار سینوس در زاویه مذکور برابر است با:

sin7π6=−12sin⁡7π6=−12

تابع‌های وارون مثلثاتی

تابع وارون

برای تابع‌های مثلثاتی، تابع وارون در بازه مشخصی کهشرط یک به یک بودن تابع برقرار باشد، تعریف می‌شود. این تابع‌ها متناظر با تابع اصلی، آرک‌سینوس، آرک‌کسینوس و آرک‌تانژانت نامیده می‌شوند.

برچسب‌ها: مثلثات , توابع مثلثاتی , دایره مثلثاتی

تاريخ : دوشنبه هفدهم تیر ۱۳۹۸ | 10:54 | نویسنده : math.teacher |

تابع ثابت

تابع ثابت:

تابع را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می کند.
پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشت که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
به عنوان مثال تابع یک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع ثابت را نشان می دهد:

مشاهده می شود این تابع هر عضو از دامنه(A) خود را به یک مقدار ثابت c متناظر می کند.
به عبارت دقیق تر تابع فوق یک تابع ثابت از مجموعه A به مجموعه تک عضوی {c} است که می توان این مطلب را اینگونه نوشت:
تابع با ضابطه

به دلیل اینکه در حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولا با توابع حقیقی و اعداد حقیقیکار می کنیم تابع ثابت معمولا به این صورت تعریف می شود:

تابع با ضابطه را تابعی ثابت می گوییم. این تابع هر عدد حقیقی را به یک مقدار ثابت چون c متناظر می کند.
نمودار تابع یک تابع ثابت همواره یک خط موازی محور X ها است. به عنوان مثال نمودار تابع ثابت به این صورت است:

بررسی ویژگی های توابع ثابت:

توابع ثابت توابعی غیر یک به یک می باشند.

برهان: تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را به C متناظر می کند پس: که این نشان می دهد تابع ثابت یک به یک نمی باشد چرا که دو زوج مرتب با مولفه اول متمایز و با مولفه دوم یکسان در آن یافت می شود.

توابع ثابت معکوس پذیر نمی باشند.

برهان: می دانیم شرط لازم و کافی برای اینکه تابعی معکوش پذیر باشد این است که یک به یک باشد. حال آنکه تابع ثابت یک به یک نمی باشد. پس معکوس پذیر هم نمی باشد. به عبارت دیگر عمل معکوس یک تابع ثابت دیگر یک تابع نمی باشد.

تابع ثابت تابعی پوشا است.

برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. برای اثبات پوشا بودن باید نشان داد:

حال در تابع ثابت داریم:
که این نشان می دهد برای هر عضو از برد یعنی C یک عضو از دامنه چون x وجود دارد که x به C متناظر شود یا به عبارتی که این دلیل بر پوشا بودن f است.

تابع ثابت زوج می باشند به استثنای تابع که هم زوج و هم فرد است.

برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است. لذا شرط اولیه زوج یا فرد بودن تابع یعنی متقارن بودن دامنه را دارا است.
پس تابع مذکور زوج است.
حال تابع را در نظر بگیرید. داریم:

همچنین می توان نوشت:

پس تابع مذکور هم در شرط زوج بودن و هم در شرط فرد بودن تابع صدق می کند پس هم زوج و هم فرد است.

برچسب‌ها: تابع , تابع ثابت

تاريخ : دوشنبه هفدهم تیر ۱۳۹۸ | 10:29 | نویسنده : math.teacher |

دنباله فیبوناچی

دنباله فیبوناچی (Fibonacci Sequence) یک سری از اعداد است.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

در هر مرحله، عدد بعدی با جمع کردن دو عدد قبل عدد مورد نظر، به دست می‌آید.

2 از جمع دو عدد قبل خود ( 1 + 1 ) به دست آمده است.
به طور مشابه، 3 از جمع دو عدد قبل خود ( 2 + 1 ) به دست آمده است.
و 5 از جمع ( 3 + 2 ) به دست می‌آید.
و به همین ترتیب ادامه می‌یابد!

مثال: عدد بعدی در دنباله فیبوناچی بالا، برابر است با:

21 + 34 = 55

لیست بلند تری از اعضای دنباله بالا به صورت زیر است:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, …

شما چند عدد دیگر را می‌توانید به دست بیاورید؟

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی، ریاضی‌دان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نام‌گذاری شده‌است.

دنباله فیبوناچی

در واقع فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقه‌مند شد. او می‌خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آن‌ها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود:

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن به‌دنیا آمده‌اند.

- خرگوش‌ها پس از یک ماه بالغ می‌شوند.

- دوران بارداری خرگوش‌ها یک ماه است.

- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتماً باردار می‌شود.

- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده به‌دنیا می‌آورد.

- خرگوش‌ها هرگز نمی‌میرند.

حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت؟

فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، می‌دانیم که x۲=۱,x۱=۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود(xn). اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم‌اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوش‌های متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱، پس خواهیم داشت:

مارپیچ فیبوناچی

x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱

شکل گیری دنباله فیبو ناچی . حمع هر دو عدد ، عدد بعدی را شکل می دهد.

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.

۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.

دنباله یک مارپیچ تشکیل می دهد

هنگامی که مربع‌هایی با اضلاع جمله‌های دنباله تشکیل دهیم، یک مارپیچ زیبا به دست می‌آید:

مشاهده می‌کنید که چگونه مربع‌ها در کنار هم قرار گرفته‌اند؟ برای مثال 5 و 8، 13 را تشکیل می دهند و 8 و 13 نیز 21 را تشکیل می‌دهند و همین طور تا آخر.

این ماریپیچ در طبیعت نیز یافت می‌شود.

ضابطه

می توان برای دنباله فیبوناچی «ضابطه» نیز نوشت. ابتدا، اعضا را از صفر رو به بالا شماره‌گذاری می‌کنیم.

بدین ترتیب عضو ششم که آن را X6 می‌نامیم (برابر 8) است.

مثال: عضو هشتم برابر عضو هفتم بعلاوه عضو ششماست:

X8 = X7 + X6

دنباله فیبوناچی

پس می‌توانیم ضابطه را به صورت زیر بنویسیم:

Xn = Xn-1 + Xn-2

Xn = عضو n ام

Xn-1 = عضو قبل از n

Xn-2 = دو عضو قبل از n

مثال: عضو نهم به این شکل محاسبه می‌شود:

X9 = X9-1 + X9-2

= X8 + X7

= 21 + 13

= 34

نسبت طلایی

ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی

روش‌های متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم.

نسبت دو عضو متوالی دنباله

اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:

۱۰----۹----۸----۷----۶----۵----۴----۳----۲----۱----شماره جمله

۵۵----۳۴----۲۱----۱۳----۸----۵----۳----۲----۱----۱----مقدار جمله

نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱

نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲

نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵

نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶

نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶

نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵

نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵

نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹

نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷

به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.

معادله خط

معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mxx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح به جز مبدأ عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطه‌ای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند.
حال به جای m قرار می‌دهیم: φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و yy صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله‌شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:...،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.

جمع جملات دنباله فیبوناچی

برای بدست آوردن جمع جملات دنباله فیبو ناچی می‌توان از رابطه {\displaystyle S_{n}=F_{n+2}-1} $S_{n}=F_{n+2}-1$ استفاده کرد.

نکته شگفت‌انگیز دیگر در مورد دنباله فیبوناچی این است که ما هر عدد فیبوناچی را می‌توانیم به وسیله نسبت طلایی به دست آوریم.
استفاده از نسبت طلایی برای محاسبه اعداد فیبوناچی

پاسخ همواره به شکل یک عدد صحیح در می‌آید که دقیقاً برابر با حاصل جمع دو عضو قبلی است. برای مثال:

اگر از ماشین حساب کمک بگیرید، با وارد کردن عدد طلایی با 6 رقم اعشار، پاسخ را به صورت 8.00000033 دریافت می‌کنید. اگر از این هم دقیق‌تر محاسبه کنید پاسخ به عدد 8 نزدیک‌تر خواهد بود. می‌توانید این مسئله را خودتان امتحان کنید.

برخی نکات جالب

در تصویر زیر یک دنباله فیبوناچی را شاهد هستیم:

الگوی جالبی در آن وجود دارد:

به عدد X3 = 2 نگاه کنید. هر عدد با 3 فاصله مضربی از 2 است ( … ,610 ,,144 ,34 ,8 ,22)
به عدد X4 = 3 نگاه کنید. هر عدد با 4فاصله مضربی از 3 است ( … ,144 ,21 ,33)
به عدد X5 = 5 نگاه کنید. هر عدد با 5فاصله مضربی از 5 است ( … ,610 ,55 ,55)

و به این ترتیب این الگو ادامه می یابد و هر عدد با n فاصله مضربی از Xn است.

1/89 = 0.011235955056179775…

آیا دقت کردید که تعداد اقام پس از اعشار به صورت نخستین ارقام دنباله فیبوناچی (0,1,1,2,3,5) هستند؟

0.0
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
0.000000021
… etc …

0.011235955056179775… = 1/89

جمله‌های کمتر از صفر

این دنباله برای اعداد کمتر از صفر نیز صادق است، مانند:

در واقع دنباله کمتر از صفر ،همان اعداد در دنباله بیشتر از صفر را دارد، به غیر از این که جمله‌های دنباله کمتر از صفر از الگوی – + – + پیروی می‌کنند. ضابطه آن را می‌توان به شکل زیر نوشت:

X-n = (–1)n+1 Xn

که می گوید عضو n– برابر با 1 به توان n+1 بار عضو n است، و مقدار 1 به توان n+1 به طور مرتب الگوی … ,1– ,1 ,1– ,1 را تشکیل می دهد.

تاریخچه

باید اشاره کنیم که فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده است و این دنباله صدها سال پیش از وی در هند شناخته شده بوده است.

در مورد فیبوناچی

نام واقعی وی لئوناردو پیزانو بگولو (Leonardo Pisano Bogollo) بود و در سالهای مابین 1170 و 1250 در ایتالیا زندگی می‌کرده است.در واقع فیبوناچی لقب وی به معنی پسر بوناچی بوده است. فیبوناچی علاوه بر شهرتی که به خاطر دنباله فیبوناچی دارد، به خاطر برای گسترش اعداد هندی – عربی (همان اعدادی که الان استفاده می‌کنیم: 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) مشهور شده است. این اتفاق اروپایی‌ها و آمریکایی‌ها را از بسیاری از مشکلات نجات داده است و به همین خاطر باید از لئوناردو متشکر باشند.

روز فیبوناچی

روز 23 نوامبر (2 آذر) به نام روز فیبوناچی نام گذاری شده است. چرا که این روز در تقویم میلادی 11/23 نشان دهنده ابتدای دنباله فیبوناچی است : 3 , 2 , 1 ,

برچسب‌ها: دنباله فیبوناچی

تاريخ : شنبه پانزدهم تیر ۱۳۹۸ | 13:16 | نویسنده : math.teacher |

معادله درجه دو

معادله درجه دو — به زبان ساده

در این مطلب قصد داریم تا روش بدست آوردن پاسخ معادله درجه دوم را توضیح دهیم. ابتدا به ساکن لازم است تا با این نوع از معادلات آشنا باشید. معمولا جهت حل هر معادله‌ای از درجه 3، 4 و … بایستی در ابتدا معادله را به شکل استاندارد بیان کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

شکل معادله درجه دوم

جهت تعیین درجه یک معادله به بزرگ‌ترین توانِ متغیرِ آن نگاه کنید. اگر بزرگ‌ترین توان 2 باشد، معادله نیز از مرتبه دوم یا به‌ عبارتی از درجه دو است. برای نمونه معادله زیر یک معادله درجه دوم است چراکه بزرگ‌ترین متغیرِ (در این معادله x متغیر است) موجود در آن برابر با 2 است.

Second-order-equation

منحنی معادلات درجه دوم به‌شکل زیر هستند.

معادله درجه دو

البته توجه داشته باشید که خمیدگی منحنی ممکن است به سمت بالا نیز باشد.

شکل استاندارد

معمولا شکل استاندارد معادلات درجه‌ دو به‌صورت زیر بیان می‌شوند:

در رابطه بالا ضرایب a,b,c ثابت بوده و مقدار a غیرصفر است. همچنین xx همان مجهولی است که هدف از حل کردن معادله یافتن آن است. در جدول زیر مثال‌هایی از معادلات درجه دوم ارائه شده است.

معادله درجه دو

توجه داشته باشید که در مواقعی ممکن است شکل اولیه‌ی معادله به‌صورت استاندارد نباشد. در چنین حالاتی می‌توان با جابجایی عبارات در طرفین معادله، شکل معادله را به‌صورت استاندارد درآورد.

برای نمونه در جدول زیر تعدادی معادله ارائه شده که شکل اولیه آن‌ها استاندارد نیست. همان‌طور که می‌بینید، در ستون سوم، شکل استاندارد این معادلات ارائه شده است.

معادله درجه دو

حل معادله درجه دوم

منظور از پاسخ معادله‌ی درجه دوم، مقداری از x است که به ازای آن، پاسخ معادله برابر با صفر شود. برای نمونه معادله x2-1=0 را در نظر بگیرید. اگر x=1 را در این معادله قرار دهیم، مقدار آن برابر با ۰=1-12 خواهد شد. بنابراین x=1 پاسخی برای معادله فوق محسوب می‌شود. توجه داشته باشید که یک معادله درجه دوم معمولا دارای دو پاسخ است. برای نمونه x=-1 نیز پاسخ معادله x2-1=0 است. حال معادله‌ای به شکل استاندارد (ax2+bx+c=0) را تصور کنید. در حالت کلی سه روش به‌منظور حل این معادله وجود دارد:

فاکتورگیری
مربع کامل
استفاده از فرمول

اثبات پاسخ بدست آمده

شاید به نحوه یافتن رابطه‌ی ارائه شده در روش شماره 3 علاقه‌مند باشید. در ابتدا پیشنهاد می‌شود مطلبِمعادله دایره را مطالعه فرموده و در مورد نحوه بدست آمدن پاسخ شماره 33 فکر کنید.

در اولین قدم طرفین رابطه را به a تقسیم کنید. با انجام این کار رابطه استاندارد به‌صورت زیر در می‌آید.

معادله درجه دو

در قدم بعدی به طرفین رابطه‌ی بالا، عدد b24a2b24a2 را اضافه کنید. در نتیجه شکل عمومی رابطه فوق برابر خواهد بود با:

معادله درجه دو

b24a2b24a2 را نگه داشته و c/a را به سمت راست منتقل می‌کنیم. با انجام این کار رابطه بالا به‌شکل زیر در می‌آید.

معادله درجه دو

با توجه به مطلب معادله دایره، رابطه بالا یک دایره به شعاع √b24a2−cab24a2−ca را نشان می‌دهد. در حقیقت می‌توان رابطه بالا را به شکل زیر بازنویسی کرد.

معادله درجه دو

جهت بدست آوردن پاسخ x، از طرفین رابطه بالا جذر گرفته و آن را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.

معادله درجه دو

با نگه داشتن x و بردن b/2a به سمت راست، پاسخ x برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

معادله درجه دو

با فاکتور گرفتنِ 1/2a از سمت راستِ رابطه‌ی بالا داریم:

معمولا عبارت b2−4acb2−4ac را به‌صورت جداگانه با علامت ΔΔ (دلتا) نمایش می‌دهند؛ با این فرض رابطه فوق به‌صورت زیر در خواهد آمد.

معادله درجه دو

توجه داشته باشید که علامت ± به معنای این است که معادله درجه دوم دارای دو پاسخ است. در حقیقت محل تلاقی نمودار درجه دوم با محور xها همان پاسخ معادله است. همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌بینید نمودار درجه دوم در دو نقطه محور xها را قطع کرده است.

معادله درجه دو

اما اگر کل نمودار بالای محور x‌ها قرار گیرد، نمودار محور‌ها xها را در نقطه‌ای قطع نمی‌کند؛ بنابراین پاسخ‌ها به چه شکل خواهند بود؟ در ادامه در این مورد توضیح خواهیم داد.

حالت‌های مختلفِ Δ

همان‌طور که در بالا نیز اشاره شد، در پاسخ‌ x عبارت b2-4ac یا همان دلتا زیر رادیکال قرار می‌گیرد، در نتیجه این مقدار هر عددی نمی‌تواند باشد چراکه مقدار زیر رادیکال بایستی بیشتر از صفر باشد (۰< Δ). نهایتا برای یک معادله درجه‌ی دوم حالت‌های زیر می‌تواند رخ دهد:

b2-4ac مثبت باشد. در این حالت معادله دو پاسخ متفاوت دارد.
b2-4ac صفر باشد. در این حالت معادله دو پاسخ مشابه یا اصطلاحا ریشه مضاعف دارد.
b2-4ac منفی باشد. در این حالت معادله پاسخی ندارد.

مثال 1

پاسخ معادله 5x2+6x+1=0 را بیابید.

جهت حل یک معادله‌ی درجه دوم در ابتدا بایستی ضرایب a,b,c را بیابید. با مقایسه معادله مذکور با معادله ax2+bx+c=0 مقادیر a,b,c برابر با اعداد زیر بدست می‌آیند.

در قدم بعدی بایستی Δ را محاسبه کرده و علامت آن را مشخص کنید. با توجه به مقادیر a,b,c اندازه Δ برابر است با:

معادله درجه دو

عدد بالا مثبت است؛ در نتیجه این معادله دارای دو پاسخ متفاوت خواهد بود. با استفاده از رابطه 1، پاسخ معادله برابر است با:

Second-order-equation

همان‌طور که انتظار می‌رفت معادله فوق دارای دو پاسخ است. البته نمودار رابطه فوق نیز همین امر را نشان می‌دهد. در حقیقت نمودار رابطه فوق به‌شکل زیر است.

معادله درجه دو

مثال 2

پاسخ معادله 5x2+2x+1=0 را بیابید.

در رابطه فوق مقادیر a,b,c برابرند با:

در نتیجه دلتا برابر است با:

معادله درجه دو

مقدار دلتای بدست آمده منفی است؛ بنابراین معادله فوق پاسخی در اعداد حقیقی ندارد.

خلاصه

شکل عمومی یک معادله درجه دو بصورت ax2+bx+c=0 است.
پاسخ‌های یک معادله درجه 2 برابرند با:
در صورت مثبت بودن دلتا (0
در صورتی که دلتا منفی باشد، معادله جواب حقیقی ندارد.
در صورتی که دلتا برابر با صفر باشد،‌ معادله دو پاسخ یکسان یا اصطلاحا ریشه مضاعف دارد

برچسب‌ها: معادله درجه دو

تاريخ : دوشنبه دهم تیر ۱۳۹۸ | 17:57 | نویسنده : math.teacher |

مجموعه ها

مجموعه ها در ریاضی : تعریف مجموعه

تعریف مجموعه ها در ریاضی

شاید تا کنون فکر می‌کردید که ریاضیات با اعداد شروع می‌شود. ولی شروع ریاضی با نظریه‌ی مجموعه‌هاست. در واقع، مجموعه ها در ریاضی یکی از مفاهیم بسیار پایه هستند. خیلی از مباحث موجود در ریاضی بر اساس مجموعه تعریف می‌شوند.

معمولاً مباحث ریاضی حاصل کار یک دانشمند نیستند. یعنی یک دانشمند کل یک نظریه را از صفر تا صد ارائه نمی کند. بلکه هر محقق حاصل کارها و تحقیقات پیشینیان را مطالعه کرده و نتایج کار خود را با آن اضافه می‌کند تا به تدریج یک نظریه کامل شکل بگیرد.

ولی نظریه مجموعه ها در این مورد استثناست. این نظریه را در سال ۱۸۷۴ جرج کانتور به تنهایی بیان کرد. البته بعدها افرادی مانند برتراند راسل، آبراهام فرنکل و هنری لبگ حرفهای زیادی در نظریه مجموعه ها بیان کردند. بیشتر مباحثی که در کتاب ریاضی نهم و جبر و احتمال یازدهم بیان می‌شود، برگرفته از نظریات کانتور است.

جرج کانتور، خالق نظریه مجموعه ها

تعریف مجموعه ‌ها در ریاضی

مفهوم مجموعه اینقدر پایه‌ای است که ارائه تعریف دقیقی برای آن بسیار دشوار است. معمولاً در کتب درسی و کتب ریاضی مجموعه را به صورت زیر تعریف می‌کنند:

دسته‌ای از اشیاء کاملاً مشخص و معین که با نام بردن اعضا یا معرفی خاصیت مشترک آنها، مشخص می‌شود.

نکته مهم در این تعریف اینست که اشیاء درون مجموعه باید کاملاً معلوم باشند. یعنی با قاطعیت بتوان گفت که یک شئ عضو مجموعه هست یا خیر.

مثال: موارد زیر همگی مجموعه هستند

دانش‌آموزان کلاسی که شما عضو آن هستید یک مجموعه است.
اعداد ۲،۴،۶ و ۸ مجموعه اعداد زوج کوچکتر از ۱۰ را تشکیل می‌دهند.
تمام محصولات شرکت اپل تشکیل یک مجموعه می‌دهند، مجموعه‌ی محصولات شرکت اپل.
حروف زبان فارسی تشکیل یک مجموعه می‌دهند.
انگشتان یک دست با هم تشکیل یک مجموعه می‌دهند.
مجموعه ستارگانی که قطری بزرگتر از خورشید دارند.

مجموعه انگشتان یک دست

مجموعه اعداد زوج زیر 10

مجموعه اعداد زوج زیر ۱۰

مطمئناً خودتان می‌توانید صدها مثال دیگر برای مجموعه ذکر کنید. حال بیایید چند مورد که مجموعه محسوب نمی‌شوند را هم ببینیم:

مثال: موارد زیر هیچ کدام مجموعه نیستند

پنج عدد خیلی کوچک:

کوچک هیچ تعریف مشخصی ندارد. مثلاً عدد ۰٫۰۰۰۱ در شرایطی ممکن است خیلی کوچک باشد (وقتی وزن خود را حساب می‌کنید، ۰٫۰۰۰۱ گرم خطا اهمیت ندارد) یا در شرایطی خیلی بزرگ (وقتی وزن یک اتم را حساب می‌کنید، یا در هنگام ترکیب دو ماده شیمیایی برای تولید محصولی جدید ممکن است ۰٫۰۰۰۱ گرم خطا فاجعه آمیز باشد). بنابراین نمی‌توان به صورت دقیق مشخص کرد که ۰٫۰۰۰۱ در مجموعه‌ی پنج عدد خیلی کوچک وجود دارد یا خیر. پس پنج عدد خیلی کوچک تشکیل یک مجموعه نمی‌دهند.

به جای این تعریف مثلا می‌توانیم بگوییم مجموعه اعداد کوچکتر ۰٫۰۰۱ آنوقت تعریف مجموعه درست می‌شود.

آزمایش شیمی

در یک آزمایش شیمی ۰٫۰۰۰۱ کیلوگرم خطا در محاسبه وزن یک ماده، می تواند نتیجه آزمایش را تغییر دهد. پس ۰٫۰۰۰۱ کیلوگرم در اینجا عدد بزرگی است.

وزن یک انسان به صورت متوسط 70 کیلو است. در اندازه گیری وزن 0.0001 کیلوگرم بیشتر یا کمتر اهمیتی ندارد.

وزن یک انسان به صورت متوسط ۷۰ کیلو است. در اندازه گیری وزن ۰٫۰۰۰۱ کیلوگرم بیشتر یا کمتر اهمیتی ندارد. پس ۰٫۰۰۰۱ کیلوگرم در اینجا عدد بسیار کوچکی است.

عکس‌های زیبا:

مجموعه عکس‌های زیبا وجود ندارد. زیرا زیبایی برای هر کس مفهوم جداگانه‌ای دارد. هر عکسی ممکن است از دید یک شخص زیبا و از دید شخص دیگر نازیبا یا حتی زشت باشد. به همین دلیل نمی‌توان به طور دقیق مشخص کرد که یک عکس عضو این مجموعه هست یا خیر.

به جای این تعریف می‌توانیم بگوییم مجموعه عکس‌هایی که از دید یک نفر زیبا هستند.

مجموعه ستارگان پرنور

پرنور بودن هم یک مفهوم روشن و دقیق نیست. بنابراین نمی‌توان به صورت دقیق مشخص کرد که یک ستاره در این مجموعه وجود دارد یا خیر.

این تعریف را می‌توان به این صورت تغییر داد: ستارگانی که میزان خروجی انرژی آن‌ها در واحد زمان از حد مشخصی بالاتر است.

ویژگی های یک مجموعه ریاضی چیست؟

مجموعه ها در ریاضی با واژه های روزمره ای نظیر دسته و مجموعه که در ادبیات محاوره ای با آن سر و کار داریم متفاوت است.
مهمترین تفاوت های موجود بین مجموعه در ریاضی با واژه مجموعه در ادبیات عامه مردم موارد زیر است:

یکتا و مشخص بودن عضوها
عدم اهمیت مکان اعضا
بی اثر بودن تکرار در اعضا

مثلا چهار شاعر ایرانی نمی تواند یک مجموعه را مشخص کند زیرا این اعضا منحصر به فرد نیستند مثلا فردی می تواند فردوسی، حافظ، سعدی و نظامی را در نظر بگیرد و دیگری مولانا، بابا طاهر ، خیام و سهراب سپهری را به عنوان چهار شاعر ایرانی فرض کند.

یک مجموعه ریاضی چگونه نمایش داده می شود؟

برای مشخص کردن یک مجموعه ریاضی راه های زیادی داریم.
توصیف مجموعه یکی از راه های مشخص کردن مجموعه ها در ریاضی است. (مثال: اعداد طبیعی کوچکتر از پنج)
قراردادن اعضای مجموعه بین دو آکولاد

استفاده از نمودار ون
نمودار ون برای نمایش یک مجموعه
بیان ریاضی مجموعه ها از جمله روشهای نمایش مجموعه ها می باشد.

نمودار ون چیست؟

نمودار ون، نمایش مجموعه ها به صورت عموما دایره هایی است که اعضا داخل آن قرار دارند.
در هر حقیقت نمودار ون هر مجموعه را با یک شکل هندسی که اعضای آن در داخل آن شکل قرار گرفته اند نشان می دهد.
خوب است بدانید که مفهوم مجموعه ها در ریاضی جزو مفاهیم اولیه است و تعریفی برای آن وجود ندارد و فقط از روی شاخصه های آن مورد شناسایی قرار می گیرد.
هر چند گاهی مجموعه ها در ریاضی را یک دسته یا گروه تعریف می کنیم اما دسته یا گروه نیز خود نیازمند یک تعریف است.

مجموعه مرجع چیست؟ مجموعه تهی چه چیزی را نشان می دهد؟

مجموعه مرجع که معمولا آن را با حرف U یا M نشان می دهند بیانگر مجموعه ای است که به عنوان مجموعه مادر شناخته می شود و شامل همه اعضای مورد نظر مساله است.
مثال) وقتی صحبت از مجموعه اعداد صحیح و کسری است مجموعه اعداد گویا به عنوان مجموعه مرجع می تواند تعریف شود.
مجموعه تهی : مجموعه ای است که فاقد عضو باشد و آن را با نماد دو آکولاد باز و بسته که چیزی داخل آن نوشته نشده یا نماد فی که شبیه حرف O است که داخل آن خطی مورب کشیده شده است نشان داده می شود.
به عنوان مثال مجموعه اعداد اول بین ۳ و ۴ به دلیل نداشتن هیچ عضوی با نماد مجموعه تهی بیان می شود.
تذکر) مجموعه شامل عدد صفر با مجموعه تهی متفاوت است. زیرا دارای یک عضو می باشد.(صفر به عنوان تنها عضو آن است)

عضویت ، زیرمجموعه بودن و عملیات اشتراک ، اجتماع و تفاضل در مجموعه ها

روابط روی مجموعه ها نظیر زیرمجموعه ، اجتماع، شتراک و تفاضل بین دو مجموعه قابل تعریف است.
زمانی که از عضویت صحبت می شود، باید عین آنجه در تعریف بیان شده را ارائه کنیم.
نماد عضویت و عدم عضویت در مجموعه ها
هرگاه از زیرمجموعه سخن گفته می شود، باید اعضای مورد نظر را در قالب یک مجموعه نشان دهیم. (حتما اعضا را داخل یک آکولاد قرار دهیم.)
خروجی اجتماع، اشتراک و تفاضل نیز یک مجموعه خواهد بود.
اجتماع بیانگر مجموعه ای است که اعضای آن شامل تمام اعضای دو مجموعه و اشتراک مجموعه ای است که بخش مشترک اعضای دو مجموعه را نشان می دهد.
تفاضل دو مجموعه شامل عضوهایی از مجموعه اول است که در مجموعه دوم حضور ندارند.
برابری دو مجموعه دو شرط دارد که باید هر دو برآورده شوند تا دو مجموعه با هم برابر باشند. اولی یکسان بودن تعداد اعضای دو مجموعه و دومین شرط نظیر به نظیر یکسان بودن اعضای دو مجموعه با هم است.
عملا ارضای شرط دوم به منزله تحقق شرط اول هم می باشد.

برچسب‌ها: مجموعه ها , مجموعه ها در ریاضی

تاريخ : یکشنبه نهم تیر ۱۳۹۸ | 14:45 | نویسنده : math.teacher |

رسم نمودار تابع

رسم تابع با نقطه یابی

یکی از روش های رسم تابع استفاده از نقطه یابی می باشد.که البته این روش برای توابع ساده نتیجه می دهد و یک روش کلی محسوب نمی شود.
مثال:نمودار تابع y=x3 را به روش نقطه یابی رسم کنید.

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

نموداربعضی از توابع مانند توابع زیر، معروف هستند و لازم است دانش آموزان ، نمودار این توابع را بدون نقطه یابی حفظ باشند.
سهمی y=x2

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

قدر مطلق y=lxl

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

درجه 3 ، y=x3

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

رادیکال y=√x

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

رسم توابع به کمک انتقال

فرض کنیم نمودار تابع f(x) را داشته باشیم در این صورت می توانیم نمودار توابع زیر را به کمک نمودار f(x) رسم کنیم. فقط دقت کنید تاثیر روی x ها به صورت عکس است یعنی اگر انتظار دارید نمودار به سمت راست برود برعکس به سمت چپ می رود.اما تاثیر روی y مستقیم است.

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال
1) برای رسم نمودار f(x+a) کافی ست نمودار تابع f(x) را a واحد به سمت چپ منتقل کنیم.
2) برای رسم نمودار f(x- a) کافی ست نمودار تابعf(x) را a واحد به سمت راست منتقل کنیم.
3) برای رسم نمودار f(x)+b کافی ست نمودار تابع f(x) را b واحد به سمت بالا منتقل کنیم.
4) برای رسم نمودار f(x)-b کافی ست نمودار تابع f (x) را b واحد به سمت پایین منتقل کنیم.
5) برای رسم نمودار -f(x) کافی ست نمودار f(x) را نسبت به محور x ها قرینه کنیم.یعنی اگر بالای محور x باشد، منتقل می کنیم به پایین و اگر پایین محور باشد می بریم به بالا.
6) در رسم نمودار k f(x) :
اگر k>1 در این صورت نمودار منقبض می شود.(جمع می شود)
اگر در این صورت نمودار منبسط می شود(باز می شود)
7) در رسم نمودار lf(x)l کافی ست قسمت هایی از نمودار که پایین محور x ها است را نسبت به محور x ها قرینه کرده و بالا ببریم.
8) در رسم نمودار f(lxl) کافی ست قسمت x های منفی را حذف سپس نمودار تابع برای xهای منفی دقیقا مشابه xهای مثبت خواهد شد.
مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال
مثال:

مثال:

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال مثال: نمودار توابعy=(x-3)2 و y=x2+4 را به کمک انتقال رسم کنید:

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

ارزشیابی پایانی

سوال: نمودار توابع زیر را به کمک انتقال رسم کنید:

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

جزوه رسم نمودار تابع به کمک انتقال

ویژه ی دانش‌آموزان رشته‌ی تجربی و ریاضی

به همراه نکات آموزشی و کنکوری

و مثال های متنوع

دانلود

برچسب‌ها: تابع , رسم نمودار تابع

تاريخ : پنجشنبه ششم تیر ۱۳۹۸ | 12:22 | نویسنده : math.teacher |

مشتق

مشتق یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. بوسیله مشتق میتوان برخی از مفاهیم فیزیکی (مانند سرعت و شتاب)با تعاریف ریاضی بیان نمود.
ااگر منحنی یک تابع را در فضای دو بعدی در نظر بگیریم بوسیله مشتق میتوانیمشیب خط مماس بر منحنی را در هر نقطه دلخواه بدست آوریم.همچنین با استفاده از مشتق میتوان خواص هندسی منحنی یک تابع مانند تقعر و تحدب را مشخص کرد.
البته باید به این نکته توجه کرد که هر تابعی در هر نقطه نمیتواند مشتق داشته باشد و به طور کلی مشتق پذیری یک تابع در یک نقطه شرایط خاصی میطلبد.

مشتق گیری و مشتق پذیری

در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:

که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:

معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر xx، استفاده میکنند:

یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:

ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(دربهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=00 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

برچسب‌ها: مشتق

تاريخ : پنجشنبه ششم تیر ۱۳۹۸ | 11:0 | نویسنده : math.teacher |

حالت های مبهم در حد

فایل آموزشی روش‌های رفع ابهام در محاسبه‌ی حد توابع شامل نکات و مثال های مختلف به صورت پاورپوینت در ادامه قابل دانلود است.

این فایل ها که شامل روش‌های “حذف عامل مبهم” ، “هم‌ارزی” “تغییر متغیر” و “قاعده‌ی هوپیتال” است؛ توسط استاد سید قاسم رضوی تهیه شده است.

برای دانلود کلیک کنید

برچسب‌ها: رفع ابهام

تاريخ : چهارشنبه پنجم تیر ۱۳۹۸ | 10:55 | نویسنده : math.teacher |

توابع زوج و فرد

توابع زوج و فرد:

فرض کنید f تابعی با دامنه با شد و برای هر آنگاه باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت:

تابع f را زوج می گوییم هرگاه:
تابع f را فرد می گوییم هرگاه:

اگر هیچ یک از شرایط فوق برقرار نباشد تابع را نه زوج و نه فرد می گوییم.

توجه کنید که شرط اولیه اینکه تابعی بتواند زوج یا فرد باشد این است که دامنه اش متقارن باشد یعنی:

و اگر شرط فوق برقرار نباشد در مورد زوج یا فرد بودن تابع بحث نمی شود.(چرا؟)
به عنوان مثال تابع تابعی است نه زوج و نه فرد چرا که دامنه اش برابر است با که متقارن
نمی باشد چون 1- عضو دامنه بوده ولی 1 عضو دامنه نمی باشد و شرط اولیه برای زوج یا فرد بودن تابع برقرار نمی باشد.

به عنوان مثال تابع تابعی زوج است چرا که اولا وامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده پس متقارن است و همچنین داریم:

و همچنین تابع تابعی فرد است چرا که دامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده و متقارن است و همچنین:

تابع هم تابعی نه زوج و نه فرد است زیرا:(البته شرط اولیه یعنی متقارن بودن دامنه برقرار است) که در هیچ یک از شراط تابع زوج یا فرد صدق نمی کند.

بررسی زوج و فرد بودن تابع از روی نمودار تابع:

از نظر هندسی نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است.

برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به محور y ها مولفه y ثابت و مولفه x قرینه می شود پس زمانی نسبت به محور y ها متقارن است که با تبدیل x به x- تابع تغییری نکند. پس در چنین تابعی داریم: که این همان تعریف تابع زوج است.
به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا زوج بودنش را نشان دادیم به این صورت است:

مشاهده می کنید این تابع نسبت به محور Y ها متقارن است.

از نظر هندسی نمودار تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است.

برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به مبدا همه مولفه ها قرینه می شوند. پس تابع هنگامی نسبت به مبدا متقارن است که با تبدیل x به xx- تابع از (‌f(x به (‌f(x- تغییر کند. پس در چنین تابعی داریم: که این همان تعریف تابع فرد است.
به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا فرد بودنش را بررسی کردیم به این صورت است:

مشاهده می شود این تابع نسبت به مبدا متقارن است.
تابعی که هیچ یک از این ویژگی ها را نداشته باشد نه زوج و نه فرد است. به عنوان مثال نمودار های زیر نمونه ای از نمودار های توابع نه زوج و نه فرد است:

از معروف ترین توابع نه زوج و نه فرد می توان به تابع هموگرافیک و تابع لگاریتم اشاره کرد.

حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا تابعی وجود دارد که هم زوج و هم فرد باشد؟

بررسی می کنیم:

اگر چنین تابعی موجود باشد خاصیت زوج بودن و فرد بودن را با هم دارد. فرض کنید تابع با دامنه دارای چنین خاصیتی باشد و
داریم:

حال با جمع کردن طرفین:

پس تابع (محور Xها) تنها تابعی است که هم زوج و هم فرد است و نمودار آن به این صورت است:

مشاهده می کنید که نمودار این تابع هم نسبت به مبدا مختصات و هم نسبت به محور Y ها متقارن است پس هم زوج و هم فرد است.

چند خاصیت از توابع زوج و فرد:

اگر f و g دو تابع زوج باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم زوج است.

برهان: باید نشان دهیم:

چون f و g دو تابع زوج هستند طبق فرض داریم:

پس:

لذا تابع fog زوج است به همین روش می توان نشان داد gof هم زوج است.

اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم تابعی فرد است.

برهان: باید نشان دهیم:

چون f و g دو تابع فرد هستند داریم:

پس:

لذا تابع fog تابعی فرد است. به همین روش می توان اثبات نمود gof هم تابعی فرد است.

ترکیب دو تابع که یکی زوج و دیگری فرد باشد همواره تابعی زوج است.

برهان: فرض می کنیم f تابعی زوج دلخواه و g تابعی فرد دلخواه باشد. نشان می دهیم تابع حاصل از ترکیب این دو تابع تابعی فرد است.
طبق فرض داریم:

ابتدا نشان می دهیم تابع fog تابعی فرد است.

پس fog تابعی زوج است. حال نشان می دهیم که gof هم زوج است.

پس gof تابعی زوج است. لذا حکم برقرار است.

اگر f و g تابعی زوج باشند آنگاه توابع حاصل از اعمال جبری این دو تابع یعنی:

هم توابعی زوج هستند.(در هر حالت می توان جای fو g را با هم عوض نمود)
(البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)

برهان: برای نمونه یک حالت زوج بودن را اثبات می کنیم. سایر حالات به طریقی مشابه اثبات می شوند. چون f و gg دو تابع زوج هستند داریم:

پس:

لذا تابع f+g تابعی زوج است.

اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه تابع تابعی فرد و سایر حالات یعنی: توابعی زوج هستند.

(در هر حالت می توان جای f و g را عوض کرد)
(البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)

برهان: ابتدا نشان می دهیم تابعی فرد است. چون دو تابع f و g توابعی فرد هستند داریم:

پس:

لذا دو تابع مذکور فرد می باشند.
حال نشان می دهیم دو تابع زوج می باشند.

(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)

پس دو تابع مذکور زوج می باشند.

اگر f تابعی زوج و g تابعی فرد باشد آنگاه تابعی نه زوج و نه فرد بوده و توابع توابعی فرد می باشند.

برهان: ابتدا به بررسی تابع پردازیم. چون f زوج و g فرد است داریم:

پس:

پس دو تابع فوق در شرایط تابع زوج یا فرد صدق نمی کنند لذا نه زوج و نه فرد هستند.
حال نشان می دهیم در تابع فرد هستند:

(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)

پس دو تابع فوق فرد می باشند.

برچسب‌ها: تابع , توابع زوج و فرد

تاريخ : چهارشنبه پنجم تیر ۱۳۹۸ | 10:37 | نویسنده : math.teacher |

ترکیب توابع

ترکیب توابع — به زبان ساده

زمانی که یک تابع روی تابعی دیگر عمل کند، دو تابع با یکدیگر ترکیب شده‌اند. برای نمونه توابع (f(x و (g(x را در نظر بگیرید. در این حالت می‌توان از تابع f به‌عنوان ورودی تابع g استفاده کرد.

تابعی که در نتیجه وارد شدن f به g به‌وجود می‌آید را با نماد (gof(x نشان می‌دهند. برای درک بهتر توابع f(x)=2x+3 و g(x)=x2 را در نظر بگیرید. با این فرضیات، هدف ما محاسبه تابع goff است. توجه داشته باشید که x فقط یک نماد محسوب می‌شود که نشان دهنده ورودی است. در این شرایط توابع f و g را می‌توان به‌صورت زیر توصیف کرد.

function-composition

فرض کنید با توجه به این دو تابع می‌خواهیم حاصل (gof(x را محاسبه کنیم. می‌دانیم رابطه زیر برقرار است:

در محاسبه تابعِ (gof(x بایستی توجه داشته باشید که (f(x نقش ورودیِ g را بازی می‌کند. در این صورت می‌توان گفت:

function-composition

به‌ نظر شما در حالتی عکس، تابع حاصل شده به چه شکل خواهد بود. در حقیقت حاصل تابع (fog(x برابر با چه تابعی است؟ در این حالت g به‌عنوان ورودیِ f در نظر گرفته شده و می‌توان نوشت:

function-composition

همان‌طور که دیدید پاسخ بالا با حالت قبل متفاوت است. بنابراین الزاما توابع (fog(x و (gof(x با یکدیگر برابر نیستند.

ترکیب یک تابع با خودش

در برخی از مسائل فیزیکی نیاز است تا یک تابع با خودش ترکیب شود. در مثال 2 این کار انجام شده است.

مثال 1

تابع f(x)=2x+3 را در نظر بگیرید. با این فرض، تابع (fof(x را بیابید. به‌منظور بدست آوردن چنین تابعی در ابتدا x را در f قرار داده و پس از آن تابع بدست آمده ((f(x) را دوباره در خودِ (f(x قرار می‌دهیم. بنابراین می‌توان گفت:

function-composition

توجه داشته باشید که نیاز نیست همواره از نمودار بالا جهت بدست آوردن تابع ترکیبی استفاده کنیم. می‌توان به‌طور مستقیم، به‌شکل زیر (fof(x را بدست آورد.

function-composition

دامنه

در مطلب مفاهیم تابع عنوان شد که دامنه یک تابع برابر با مقادیری است که تابع می‌تواند به‌ عنوان ورودی دریافت کند. در هنگام ترکیب دو تابع، مقادیر ورودی آن‌ها تغییر می‌کنند. برای نمونه در دامنه تابع (g(x برابر با مقادیر x است؛ این در حالی است که دامنه تابع (gof(x برابر با مقادیر (f(x است. شکل زیر دامنه و برد تابعِ فرضی (f(x را نشان می‌دهد.

function-composition

مثال 2

دامنه تابع √xx در کدام بازه قرار می‌گیرد؟

بدیهی است که عدد زیر رادیکال نمی‌تواند منفی باشد. [البته در مباحث پیشرفته‌تر ریاضیات با تعریف مفهومی تحت عنوان عدد مختلط، رادیکال عدد منفی نیز قابل محاسبه خواهد بود ولی در بازه اعداد حقیقی نمی‌توان از عدد منفی رادیکال گرفت]. در شکل زیر این بازه نشان داده شده است.

function-composition

بنابراین دامنه مذکور برابر است با:

دامنه تابع ترکیبی

جهت محاسبه دامنه یک تابع ترکیبی بایستی دامنه هر دو تابع را به درستی بدست آورید. برای درک بهتر لطفا به مثال زیر توجه فرمایید.

مثال 3

توابع f(x)=√xf(x)=x و g(x)=x2g(x)=x2 را در نظر بگیرید. با این فرض دامنه تابع (gof(xx را بیابید. جهت بدست آوردن دامنه تابع مذکور به‌ترتیب زیر عمل کنید:

دامنه f(x)=√xf(x)=x تمامی اعداد مثبت هستند.
دامنه تابع g(x)=x2g(x)=x2 کل اعداد حقیقی است.
تابع (gof(x برابر است با:
در رابطه بدست آمده در بالا هر عددی را می‌توان قرار داد. اما با توجه به ترکیبی بودن تابع مذکور، عددی را می‌توان در آن قرار داد که در تابع f نیز صدق کند. از این رو دامنه تابع fog برابر با اعداد مثبت است.

چرا هر دو دامنه؟

شاید این سوال در ذهن شما شکل گرفته باشد که چرا به‌منظور محاسبه دامنه تابع gof نیاز است تا هر دو دامنه را محاسبه کنیم؟ جهت پاسخ به این سوال،‌ فرض کنید توابع f و g هم‌چون ماشین باشند. تابع f با ذوب کردن یک صفحه امکان ایجاد سوراخی را در سطح به‌وجود می‌آورد. از طرفی تابع g با استفاده از دریل می‌تواند روی فلز یا چوب، سوراخ مد نظر را ایجاد کند. در شکل زیر مکانیزم توابع مذکور نشان داده شده‌اند.

ترکیب توابع

پدیده‌ای که نهایتا مشاهده می‌شود سوراخی است که در سطح به‌وجود آمده. در ابتدا ممکن است این تصور وجود داشته باشد که ماشین gof می‌تواند چنین سوراخی را هم در چوب و هم در فلز ایجاد کند.

اما بایستی توجه داشت که اگر سطح چوبی به‌عنوان ورودی در نظر گرفته شود، تابع f آن را خواهد سوزاند و سیستم نمی‌تواند کار کند! در نتیجه جهت بدست آوردن دامنه ماشین (یا همان ورودی‌های ماشین)، فرآیند‌های رخ داده در کل ماشین بایستی در نظر گرفته شوند.

جداسازی توابع

فرآیند ترکیب دو یا چند تابع را می‌توان به شکل عکس نیز انجام داد. در حقیقت ممکن است تابعی داشته باشیم که از ترکیب دو تابع شکل گرفته باشد. در این صورت می‌توان از آن دو -یا چند- تابع را بیرون کشیده و به دو تابع رسید.

مثال 4

تابعی را برابر با (x+1x)2(x+1x)2 در نظر بگیرید. این تابع می‌تواند از ترکیب دو تابع زیر ساخته شده باشد.

function-composition

در حقیقت با فرض دو تابع f و g به‌شکل بالا تابع gof برابر خواهد بود با:

function-composition

فرآیند‌ جداسازی زمانی مفید است که تابع اصلی بسیار پیچیده باشد.

خلاصه

زمانی که یک تابع به‌عنوان ورودی تابعی دیگر در نظر گرفته شود، دو تابع با هم ترکیب شده‌اند.
جهت محاسبه تابع (gof(x در ابتدا (f(x محاسبه شده، سپس در g قرار می‌گیرد.
به‌منظور تحلیل دامنه (gof(x، دامنه f نیز بایستی مدنظر قرار گیرد.
برخی از توابع را می‌توان به‌صورت ترکیب دو یا چند تابع در نظر گرفت.

برچسب‌ها: ترکیب توابع , تابع

تاريخ : سه شنبه چهارم تیر ۱۳۹۸ | 21:5 | نویسنده : math.teacher |

حد

مفهوم حد چیست؟

حد در عین اینکه مفهوم بسیار ساده‌ای است ولی پایه مشتق و انتگرال را تشکیل می‌دهد و در ریاضیات از اهمیت بسیار ویژه‌ای برخوردار است.

بیایید مفهوم حد را با یک مثال بررسی کنیم.

مثال: تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

ممکن است سریع بگویید که را در صورت و مخرج ساده می‌کنیم و تابع به دست می‌آید. خب این درست است. ولی تابع با تابع یک فرق اساسی دارد که آن هم در دامنه آنهاست.

دامنه تابع شامل نقطه ۱ نمی‌شود زیرا مخرج را صفر می‌کند. بنابراین، نمودار این تابع به صورت زیر است:

مثال از حد

همان‌طور که می‌بینید، تابع در تمام نقاط تعریف شده است به جز نقطه‌ی ۱٫

حال می‌توانیم کار جالبی انجام دهیم. بیاییم رفتار تابع را در نزدیکی نقطه ۱ بررسی کنیم. یعنی هر چقدر که می‌توانیم به نقطه ۱ نزدیک و نزدیک‌تر شویم و ببینیم تابع چه مقداری به خود می‌گیرد.

بدیهی است که از دو طرف می‌توانیم به نقطه یک نزدیک شویم. یکی از سمت مقادیر کمتر از ۱ و دیگری از سمت مقادیر بیشتر از ۱ . در جدول زیر مقادیر کمتر از ۱ آمده است:

f(x)	x
۱	۰
۱٫۵	۰٫۵
۱٫۷۵	۰٫۷۵
۱٫۸۵	۰٫۸۵
۱٫۹۵	۰٫۹۵
۱٫۹۹	۰٫۹۹
۱٫۹۹۹	۰٫۹۹۹
۱٫۹۹۹۹۹	۰٫۹۹۹۹۹
۱٫۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹	۰٫۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، وقتی از مقادیر کوچکتر از ۱، به سمت یک حرکت می‌کنیم، مقدار تابع به عدد ۲ نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود.

حال برویم به سراغ مقادیر بزرگتر از ۱:

f(x)	x
۳	۲
۲٫۵	۱٫۵
۲٫۲۵	۱٫۲۵
۲٫۱۵	۱٫۱۵
۲٫۰۵	۱٫۰۵
۲٫۱۱	۱٫۱۱
۲٫۰۰۱	۱٫۰۰۱
۲٫۰۰۰۰۱	۱٫۰۰۰۰۱
۲٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۱	۱٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۱

از مقادیر بزرگتر از ۱ هم که به سمت ۱ حرکت می‌کنیم، باز هم تابع به عدد ۲ نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. این مسأله از روی نمودار هم مشخص است.

نکته جالب همینجاست. تابع در نقطه ۱ تعریف نشده است ولی هر چقدر که بخواهیم می‌توانیم به یک نزدیک شویم و خروجی تابع را بررسی نماییم.

هیچ وقت هم مقدار x دقیقا برابر ۱ نمی‌شود و مقدار f(x) هم دقیقا ۲ نمی‌شود ولی تا هر چقدر که بخواهیم می‌توانیم x را به ۱ و f(x) را به ۲ نزدیک کنیم.

به این کار محاسبه‌ی حد تابع می‌گویند. در مثال بالا حد تابع f را حول نقطه‌ی ۱ حساب کردیم که برابر ۲ شد.

پس به زبان خیلی ساده، حد تابع f حول نقطه‌ی a یعنی بررسی خروجی تابع f در نقاطی که بسیار بسیار نزدیک به a هستند. این مسأله را با نماد ریاضی به صورت زیر نمایش می‌دهند:

$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L$

عبارت ریاضی بالا به این صورت خوانده می‌شود: حد تابع f در نقطه a برابر است با L.

البته این تعریف دقیق حد نیست و فقط به صورت کلی مفهوم آن را بیان می‌کند. در مقالات دیگر به بررسی تعریف دقیق حد می‌پردازیم.

چند مثال دیگر از حد

مثال: اگر داشته باشیم $f(x)=x^{2}-x+2$ آنگاه $lim_{x \rightarrow 2}f(x)$ برابر چند است؟

بیایید همانند مثال بالا، دو جدول را تشکیل دهیم و از هر دو طرف به نقطه ۲ نزدیک شویم.

می‌بینیم که مقدار تابع به عدد ۴ نزدیک می‌شود. از روی نمودار هم این موضوع پیداست.

پس می‌توانیم بنویسیم:

$lim_{x \rightarrow 2}f(x)=4$

مثال: حد روبرو را حساب کنید. $lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt{t^2+9}-3}{t^2}$

طبق جداول زیر، این حد برابر است با $\frac{1}{6}$

برچسب‌ها: حد , مفهوم حد

تاريخ : سه شنبه چهارم تیر ۱۳۹۸ | 16:3 | نویسنده : math.teacher |

.: Weblog Themes By Bia2skin :.